Mrkývka pretekal predovšetkým na domácich okruhoch a v krajinách vtedajšieho socialistického bloku. Najväčšie úspechy dosiahol v československom šampionáte, v ktorom na privátnych strojoch zdatne konkuroval továrenským jazdcom Bohumilovi Stašovi a Petrovi Balážovi. Oboch na svojej dvestopäťdesiatke porazil v roku1977 na okruhu vo Velkém Meziříčí, čo viacerí odborníci považovali za jeho životný výkon.
V jeho šľapajách išiel syn Jiří, ktorý v rokoch 1996-2006 jazdil MS superbikov a odjazdil v ňom 135 pretekov. V kariére motocyklového pretekára momentálne dokonca pokračuje aj vnuk Jiří.