Kvasnička sa narodil 5. novembra 1927 v Krompachoch. Vyštudoval Pedagogickú fakultu Slovenskej univerzity, išlo o vtedajší názov pre UK. Neskôr pôsobil ako vysokoškolský pedagóg, historik a politológ.
Vo svojej pedagogickej, vedeckovýskumnej a publicistickej činnosti sa zameriaval najmä na dejiny európskych politických teórií a politických hnutí v 20. storočí. Ale aj na sociológiu vysokoškolských študentov.
Na UK pôsobil vo viacerých funkciách, napríklad ako vedúci katedier, prodekan, prorektor a zástupca rektora UK. Rektorom bol v rokoch 1976 až 1985.