V roku 1988 prešiel z Trnavy do Poetického súboru v Bratislave, ktorý sa neskôr zlúčil s divadlom Nová scéna. Na divadelných doskách účinkoval v desiatkach inscenácií. V známom muzikáli Fidlikant na streche (2007) alternoval hlavnú postavu mliekara Tovjeho s Mariánom Slovákom. Diváci mohli Štefana Kožku vidieť aj v divadelnej kriminálnej komédii Šialené nožničky (2010), v hre Ešte jeden do partie (2010) alebo v pôvodnom slovenskom muzikáli František z Assisi (2010).
V komediálnej hre Figaro sem, Figaro tam (2011) si zahral grófa Almavivu a v pôvodnom slovenskom muzikáli Mata Hari (2013) sa predstavil v úlohe manžela exotickej tanečnice Rudolfa McLouda.
Ako režisér pracoval umelec na muzikáloch Hair (2003), Muzikálový sen (2011), Cigáni idú do neba (2012), Sláva (2013), Vyhadzovači (2013), alebo HairSpray (2014).
Okrem pôsobenia na slovenských divadelných scénach účinkoval v mnohých televíznych a filmových projektoch. Prvý dotyk s kamerou mal ako 13-ročný vo filme Rok na dedine (1967). Hral v seriáli Nepokojná láska (1975), nasledovali filmy ako napríklad Súkromná vojna (1977), Smrť šitá na mieru (1979), Tisícročná včela (1983), známa a obľúbená komédia Sladké starosti (1984), Šiesta veta (1986) či šesťdielny televízny film Alžbetin dvor (1986).
K jeho ďalším filmom patria napríklad Fontána pre Zuzanu 2 (1993), dráma Zurvalec (1993), Herodes a Herodias (1996), rozprávka Zlatý hlas (2004) alebo študentský film Otec (2009).
