Predtým, ako sa stal hercom, bol Graham počas druhej svetovej vojny radarovým mechanikom v britskom kráľovskom letectve a neskôr kancelárskym úradníkom. Potom študoval herectvo na Neighborhood Playhouse School of the Theatre v New Yorku a po návrate do Anglicka sa čoskoro zamestnal v divadle a televízii.
Jeho kariéra dabingového herca sa začala po tom, ako si zahral v epizóde seriálu Martin Kane, súkromný detektív v réžii Gerryho Andersona. Anderson ho potom najal, aby nahovoril bábky v rôznych inscenáciách, počnúc postavou dedka Twinka vo filme „Four Feather Falls“.
Britský herec sa objavil na obrazovke v prvých dvoch epizódach kultového televízneho seriálu Doctor Who ešte predtým, ako v ňom začal dabovať xenofóbnych zmutovaných mimozemšťanov známych ako Dalekovia.
Herec sa pripojil k dnes už obľúbenému detskému animovanému seriálu Peppa Pig (2004) a až do roku 2021 hral úlohu dedka prasiatka (grandpa Pig).
